Graphe planaire du 4-borroméen

Il existe de nombreuses représentations de la chaîne borroméenne à quatre ronds. Les modèles présentés sont en général esthétiques, ou retiennent l’attention comme solutions ingénieuses. Tous ont en commun de présenter des suites de croisements non alternées.  Voici l'exemple de la "chaîne à oreilles" de Lacan  :

Il existe pourtant une version, et une seule semble-t-il, où l’alternance des dessus-dessous est parfaitement régulière. On doit cette trouvaille, selon mes sources, à Michel Bertheux1.

Rappelons rapidement que deux erreurs de dessus-dessous dans la réalisation du 3-borroméen conduisent soit à une déliaison des boucles, soit à la mise en chaîne des trois boucles. Dans le premier cas, le quatrième rond, le sinthome pour Lacan, vient en quelque sorte « réparer » les fautes en venant cerner les points défaillants. La trouvaille de Bertheux est de venir cerner non pas ces points, mais
les quatre autres points de croisement de l’entrelacs. Ce qui donne :

Il vient à l’esprit que si l’alternance est régulière, alors au moins deux graphes planaires de cet objet topologique doivent être réalisables.

Là aussi, il faut rappeler que le graphe planaire est constitué d’arêtes qui ne se coupent pas, d’un certain nombre de sommets, et de différents polygones. Pour passer du graphe au nœud, on dessine en veillant à franchir toutes les arêtes en leur milieu.

 Nous proposons une écriture algébrique du graphe planaire type du 4-borroméen. Les X renvoient à des aires, les Y à des angles. Les signes + n’ont aucune valeur additionnelle. 

On voit qu’il s’agit d’un modèle présentant un axe de symétrie. C’est évidemment là un mode de figuration tout à fait inédit de la 4-chaîne borroméenne mise en évidence par Lacan, et longuement travaillé ensuite dans sa  collaboration avec Pierre Soury et Michel Thomé. La lentille centrale fascine, véritable piège à regard.

Indiquons encore comment nous construisons la chaîne borroméenne à partir de cette figure. Suivant la méthode de Christian Mercat, chaque arête est le lieu d'un croisement, et les sommets sont contournés. Il suffit ensuite d'alterner les croisements.

Gommons le patron :

On vérifie aisément qu'il suffit d'ôter un rond quelconque pour que les trois autres se défassent.

Voici maintenant le graphe dual, qui n'est pas symétrique : 

Alain Cochet 

1 M. Bertheux, Les cahiers du Lyçée logique, n° 5